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数学大师用计算机按分形几何学算法生成图案

2012-12-28 17:12:52 来源: 中国网(北京)
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核心提示:《美国数学会会志》今年连续在9月号和10月号上刊发忆述文章,回忆了美籍法国数学大师、“分形几何学之父”伯努瓦·曼德尔布罗的奋斗历程,并高度评价他为科学发展作出了巨大贡献。

《美国数学会会志》(Notices of the AMS)今年连续在9月号和10月号上刊发忆述文章,回忆了美籍法国数学大师、“分形几何学之父”伯努瓦·曼德尔布罗(Benoit Mandelbrot)的奋斗历程,并高度评价他为科学发展作出了巨大贡献。

曼德尔布罗的生平与奋斗

1924年11月20日,伯努瓦·曼德尔布罗出生于波兰华沙的一个立陶宛犹太人家庭。父亲是成衣批发商,母亲是牙科医生。由于当时局势紧张,他的学业时断时续,受的教育也很不正规。他声称自己从未认真学习过字母,也没有系统地背诵过乘法口诀,只背过五以下的乘法表。11岁时,他跟着家人逃避战乱来到法国巴黎,投奔他的叔叔、知名数学家佐列姆·曼德尔布罗。战争来临时,一家人又逃到法国南部的蒂勒镇。曼德尔布罗做过一阵子机床维修学徒工后,巴黎解放,没有什么学术根底的他,完全靠自己的天赋和直觉,通过了巴黎高等理工学校长达一个月的笔试和口试。在该校学习期间,他参加过法国著名的数学团体——布尔巴基(Bourbaki)协会,但由于该协会摒弃一切图画,过分强调逻辑分析和形式主义,使得他无法忍受而成了一位叛逆者。那时候他已经意识到,不管给出什么解析问题,他总是可以用脑海中浮现的形状来思考。

曼德尔布罗1948年获美国加州理工学院硕士学位,1952年获巴黎大学博士学位。毕业后,他的职业生涯并不顺利,先是在瑞士知名心理学家让·皮亚杰(Jean Piaget)手下干了一段时间,然后于1953年前往美国普林斯顿高等研究院工作了一年。1958年,他在IBM公司的沃森研究中心获得一个职位。在那里,他依靠自己的几何直觉去研究看似毫无规律可循的事物,分析过棉花价格的涨落规律、尼罗河水位的变化情况、电话通路中自发噪声的本质以及英国海岸线的真实长度。在他看来,自然界的规律并不总是通过简化为理想的图形才能发现,往往复杂性本身也是有规律的。

与经典的描绘光滑、圆润对象的几何学(如欧氏几何学)相反,曼德尔布罗创造了一种表现斑点、缠绕、破碎对象的几何学。他认为,这种复杂性不是随机和偶然的,这些奇形怪状是有意义的,是自相似的,是跨越不同尺度对称的,而且这常常是理解事物本质的关键。他为这种复杂性引入了分维和分形(fractal)的概念,并将分形理论归纳为一个简洁的公式:f(z)=z?+c。在2010年春季的一次演讲中,曼德尔布罗解释说,如果你切开一朵花椰菜,会看到一样的花椰菜,只是小一点;如果你不断地切、不断地切,你还会看到一样的花椰菜,只是更小一点。

曼德尔布罗擅长于形象的、空间的思维,具有把复杂问题化为简单的、生动的、甚至彩色的图象的本领。他是个数学天才,又是个几何学与计算机科学兼通的奇才。1967年发表于美国《科学》杂志上的“英国的海岸线有多长”的划时代论文,是他的分形思想萌芽的重要标志。1973年,在法兰西科学院讲学期间,他提出了分形几何学的整体思想,并认为分维是个可用于研究许多自然现象的有力工具。

1982年,曼德尔布罗完成了经典著作《大自然的分形几何学》。这本书将他对宇宙所知和所怀疑的一切都搜罗其中,其销量超过任何一本其他高等数学书籍。曼德尔布罗的奇思妙想,在当时主流科学家看来解决不了什么问题,因为它既不能证明什么东西,也不能创造什么东西。实际上,分形在当今多种学科中得到了广泛的应用,由于分形的引入,一些学科焕发新的活力。在经济学领域,人们用分形来分析股票价格;在生物学领域,人们用分形来分析细胞生长规律;在物理学领域,人们用分形来分析湍流和临界现象。

四处出击的曼德尔布罗,曾经不被他涉足的所有领域所接纳,即便是在数学家中间,他也是被遗忘的,直到其怪诞想法发展成为一门成熟的几何学,他提供的技术和语言成为混沌科学不可分割的部分。到了晚年,他获得的各种荣誉和头衔不可计数,包括著名的沃尔夫物理学奖。沃尔夫奖委员会对他的评语是,“通过认识分形普遍存在和发展研究分形的数学工具,他改变了我们的自然观。”有学者预言,分形几何学可能具有如相对论一般的意义。

美国知名科普作家詹姆斯·格莱克(James Gleick)在《混沌:开创新科学》一书中评价曼德尔布罗说,他始终是个局外人,在数学的不时髦的角落里持着非正统的看法,探索着一些并未使他受欢迎的学科,为了把文章发表出去不得不把最伟大的思想隐藏起来,主要靠着约克镇高地(IBM总部所在地)雇主的信任才得以存活。他对像经济学这样的一些领域搞过突击,然后又撤走,留下一些招惹性的想法而缺少论据充分的工作。

曼德尔布罗非常崇拜有“数学全才”之称的亨利·庞加莱(Henri Poincare);他说,“一位极其伟大的数学家,他开创了数学的许多分支。他曾经说过他本人从不去证明复杂的定理,也不太在意这些证明,他更注重的是概念。”他还说,“跟他相比我还差得很多。我的意思是我发现的许多真相并不是纯数学推导而来,而是对数学图景的熟练掌握之后所提出的新问题而已。”

曼德尔布罗还说过,如果把竞赛置于一切之上,如果为了阐明竞赛规则而退缩到狭隘定义的专业中去,科学就会毁灭。别人称他为“分形几何学之父”,而他却戏谑自己是“流浪汉学者”,又称自己是“特立独行者”和“按需先锋队”,徜徉于自己爱好的天地中。他一直是哈佛大学、马萨诸塞理工学院的访问教授,但1987年才在耶鲁大学数学系获得正式教职,12年后才成为终身教授,此时他已经75岁。

曼德尔布罗投身科学事业50余年来,在许多领域做出了重要贡献,横跨数学、物理学、地学、哲学、经济学、生理学、计算机科学、天文学、情报学、信息与通讯、城市与人口、设计与艺术等学科和专业,是一位名副其实的博学家。

2010年10月14日,曼德尔布罗在美国马萨诸塞州剑桥市因病逝世,享年85岁。法国总统尼古拉·萨科齐向曼德尔布罗家人表示哀悼,“法国对曾经接纳伯努瓦·曼德尔布罗、让他受益于最好的教育而感到骄傲”,“他的工作完全是在主流科学之外发展起来,却成为现代信息理论的基础”。国际学术界也对失去这位勇于创新的天才数学家感到悲痛。

分形几何学的意义与应用

分形几何学的基本思想是:客观事物具有自相似的层次结构,局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性,成为自相似性。自相似性是指局部是整体成比例缩小的性质。形象地说,就是当用不同倍数的照相机拍摄研究对象时,无论放大倍数如何改变,看到的照片都是相似的,而从相片上无法判断所用的相机的倍数,即标度不变性或全息性。

例如,一棵参天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈在形状上没什么大的区别,大树与树枝这种关系,在几何形状上称之为自相似关系;我们再拿来一片树叶,仔细观察一下叶脉,它们也具备这种性质;动物也不例外,一头牛身体中的一个细胞基因记录着这头牛的全部生长信息;还有高山的表面,您无论怎样放大其局部,它都如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。正如曼德尔布罗在《大自然的分形几何》一书中写道:“云朵不是球形的,山峦不是锥形的,海岸线不是圆形的,树皮不是光滑的,闪电也不是一条直线。”

在欧氏空间中,人们习惯把空间看成三维的,平面或球面看成二维,而把直线或曲线看成一维。也可以梢加推广,认为点是零维的,还可以引入高维空间,人们通常习惯于整数的维数。然而,分形几何学认为维数也可以是分数,称其为分数维(简称分维);分维是分形的定量表征和基本参数。曼德尔布罗曾描述过一个绳球的维数:从很远的距离观察这个绳球,可看作一点(零维);从较近的距离观察,它充满了一个球形空间(三维);再近一些,就看到了绳子(一维);再向微观深入,绳子又变成了三维的柱,三维的柱又可分解成一维的纤维。

德国知名数学家费利克斯·豪斯道夫(Felix Hausdorff)在1919年提出了连续空间的概念,也就是空间维数是可以连续变化的,它可以是整数也可以是分数,被称为豪斯道夫维数。因此,曼德尔布罗也把分形定义为豪斯道夫维数大于或等于拓扑维数的集合。

上世纪80年代初开始的“分形热”经久不息。美国物理学大师约翰·惠勒(John Wheeler)曾说过:今后谁不熟悉分形,谁就不能被称为科学上的文化人。由此可见分形的重要性。

中国知名学者周海中曾指出:分形几何不仅展示了数学之美,也揭示了世界的本质,从而改变了人们理解自然奥秘的方式;可以说分形几何是真正描述大自然的几何学,对它的研究也极大地拓展了人类的认知疆域。

分形几何学作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科,它的出现,使人们重新审视这个世界:世界是非线性的,分形无处不在。分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合,数学与艺术审美的统一,而且还有其深刻的科学方法论意义。

分形打开了一个完全崭新和令人兴奋的几何学大门。它不仅给人们以美的享受,在实际应用方面也有重要的价值。例如英国的海岸线为什么测不准?因为欧氏一维测度与海岸线的维数不一致。根据曼德尔布罗的计算,英国海岸线的维数为1.26。有了分维,海岸线的长度就可以确定了。

海岸线作为曲线,其特征是极不规则、极不光滑的,呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的,也就是局部形态和整体形态的相似。在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公里长的海岸线与10公里长海岸线的两张照片,看上去会十分相似。

分形几何学在数学、物理学、生物学等许多科学领域中都得到了广泛的应用,甚至对流行文化领域也产生了重要影响。例如在1970年代后期曼德尔布罗集合成为一种文化符号,被大量印制在T恤、棒球帽和帆布包上。今天,人们可以在网络上,浏览与欣赏各种不同风格且优美奇妙的分形作品,这类作品一般是运用迭代法并通过计算机处理才能表现出来的;有的针对科学研究中要表达的一些特别的对象,有的则完全是艺术。美妙惊奇的分形图画,有时令人心旷神怡,有时又令人眼花缭乱。分形几何使我们看到从《星际迷航》、《星球大战》直到《指环王》、《阿凡达》、《让子弹飞》中的一幕幕激动人心的特效场景,把手机天线缩小到能够藏进机身,把飞机仪表板设计得更加一目了然,把屋内装修设计得更加舒适美观......

最后一提的是,英国的数学“极客”丹尼尔·怀特(Daniel White)利用特定的数学方程式,经过反复运用迭代算法(迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法,利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点,让计算机对一组指令或一定步骤进行重复执行,在每次执行这组指令或步骤时,都从变量的原值推出一个新值),最终创作出一组令人叹为观止的三维分形结构图案;这组图案被英国《自然》杂志评为“2009年度十大科学图片”之一。(金炳南写于法国图卢兹大学)

陈雅娟 本文来源:中国网 作者:金炳南 责任编辑:王晓易_NE0011
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